Ebflmännles Mathematik

Definitionen

Zahlfolge

Zu einem Parameter `c` definiere die Folge `(z_n(c))_(n in NN)` durch folgende Rekursionsvorschrift

• `z_0(c):=0`,
• `z_(n+1)(c):=z_n(c)^2+c`, `n in NN`.

Speziell ist etwa `z_1(c)=c` und `z_2(c)=c^2+c`.

Polynomfolge

Zu dem komplexen Polynom `F: (z,c) |-> F(z,c) := z^2+c` definiere eine Folge `(F_n:(z,c) |-> F_n(z,c))_(n in NN)` von komplexen Polynomen `F_n` durch folgende Rekursionsvorschrift

• `F^(@ 0)(z,c) := z`,
• `F^(@n+1)(z,c) := F(F^(@n)(z,c),c)`, `n in NN`.

Somit ist etwa

• `F^(@ 1)(z,c) = F(F^(@ 0)(z,c),c) = F(z,c)=z^2+c`,
• `F(F^(@n)(z,c),c) = F^(@n)(F(z,c),c)`,
• `F^(@n)(c,c) = F^(@n)(F(0,c),c) = F^(@n+1)(0,c)`.

Folgenbeziehungen

Speziell zu einem Parameter `c` ist dann `z_n(c) = F^(@n)(0,c)`, `n in NN`; also auch `z_0(c)=F^(@ 0)(0,c)`, `z_1(c) = F^(@ 1)(0,c)`. Insgesamt gilt `AA c in CC: (z_n(c))_(n in NN) = (F^(@n)(0,c))_(n in NN)`.

Mandelbrotmenge

`ccM := {c in CC: (F^(@n)(0,c))_(n in NN) text( ist beschränkt)}` heißt Mandelbrotmenge. Das Äußere `ccA := CC_oo \\ ccM` der Mandelbrotmenge ist das Einzugsgebiet des Attraktors `oo`.

Werkzeuge

Chordale Metrik

Die chordale Metrik `chi:CC_oo xx CC_oo -> RR_+` ist gegeben durch:

Das entspricht dem Abstand der stereografischen Projektionen der komplexen Werte `u` und `v` auf der Riemann'schen Zahlenkugel.

Abkürzend schreibe für den chordalen Abstand zum Ursprung:

Sphärische Ableitung

Die sphärische Ableitung `f^#` einer holomorphen Funktion `f` auf einem Gebiet in `CC_oo` ist definiert durch:

Sphärischer Schrankensatz

Für eine holomorphe Funktion `f` gilt für eine Strecke `[z,z+h]` im Inneren der Definitionsmenge von `f`:

Vermutungen

Wegen der Äquivalenz zwischen chordaler Metrik und sphärischer Metrik, sowie einem Mittelwertsatz für die spärische Metrik, sei die folgende Vermutung geäußert:

Elementare topologische Aussagen

• `ccM = nnn_(n in NN) (z_n)^(-1)(bar (ccB_2))`, `bar (ccB_2) := {c in CC : |c| <= 2}`.

  Schnitt aller Urbilder der abgeschlossenen Kreisscheibe um den Ursprung mit dem Radius zwei, zu den Abbildungen `z_n : c |-> z_n(c)`, `n in NN`.

• `ccM` ist kompakt mit `ccM sube bar (ccB_2)`. Offensichtlich ist `ccM` beschränkt. Zum anderen liegt `ccM` im Schnitt aller Urbilder `(z_n)^(-1)(bar ccB_2)`. Die Funktionen `z_n` sind stetig, und deswegen sind die Urbilder ebenfalls abgeschlossen. Zudem ist der Schnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen.
• `ccM` ist zusammenhängend.
• `ccM nn RR = [-2,1//4]`.
• `ccA` ist ein Gebiet, d.h. nichtleer, offen und zusammenhängend.

Potenzial

Eine gedachte elektrische Ladung `-1` werde auf die Mandelbrotmenge `ccM` verteilt. Daraus ergibt sich das Potenzial

Der Index `n+1` im Zähler und der Exponent `n` im Nenner rühren aus dem Anfangsindex `0` der Folgen `(z_n(c))_(n in NN)` her, welcher z.B. auch `1` sein könnte. Jedenfalls ist die Definition so gewählt, dass `phi_(|ccM) = 0`, `phi_(|ccA)>0`, `phi(c) ~ ln|c|` für `c->oo` und `Delta phi_(|ccA)=0` gilt.

Für Entfernungschätzungen ist die Ableitung nach dem Parameter `c` interessant:

Fluchtradius und Fluchtzeiten

Diskrete Fluchtzeit

Definition

Es werde ein fester Fluchtradius `R >= 3` gewählt, und zwar unabhängig vom Parameter `c`. Der Index `n_R(c)`, für den `|z_(n_R(c))(c)| >= R` erstmals in der Zahlenfolge `(z_n(c))_(n in NN)` gilt, werde (diskrete) Fluchtzeit genannt, welche natürlich vom Fluchtradius abhängt. Die formale Definition lautet:

Alle nachfolgenden Folgenglieder liegen außerhalb des Fluchtradius und streben gegen Unendlich. Damit ist `ccM = {c in CC : AA n in NN : |z_n(c)| < R}` und `ccA = {c in CC_oo : EE n in NN : |z_n(c)| >= R}`.

Anmerkungen zur Definitionswahl

Die Drei in `R >= 3` vermeidet die Betrachtung von einigen Randfällen. Es ist etwa `ccM = {c in CC : AA n in NN : |z_n(c)| <= 2}`, aber `ccM != {c in CC : AA n in NN : |z_n(c)| < 2}`.

Das Gleichheitszeichen in `|z_k(c)| >= R` vereinfacht einige Überlegungen hinsichtlich Fluchtbändern, ist aber nicht wesentlich.

Kontinuierliche Fluchtzeit

Definition

Die kontinuierliche Fluchtzeit `nu_R(c)` zu einem fest gewähltem Fluchtradius `R`, `R` unabhängig vom Parameter `c`, ist nützlich für die Einfärbung des Äußeren der Mandelbrotmenge. Daraus ergeben sich kontinuierliche Farbverläufe im Gegensatz zu den Farbbändern bei Verwendung der diskreten Fluchtzeit. Verwende nun die folgende Definition von `nu_R(c)`, welche zu `nu_R(c) ~~ n_R(c)` führt:

Hier wird aus Effizienzgründen mit dem Betragsquadrat `|z_(n_R(c))(c)|^2` gearbeitet, um das beim einfachen Betrag nötige Wurzelziehen zu vermeiden.

Näherung und Mittelung

Der konstante additive Term `log_2lnR^2 + 1//2` führt zur Näherung `nu_R(c) ~~ n_R(c)` wegen `log_2 ln|z_(n_R(c))(c)|^2 ~~ 1//2 + log_2ln R^2`, jeweils im Mittel gesehen.

Aber woher rührt der Summand `1//2`, der in anderen Ausführungen so nicht vorkommt? Hier folgt eine Begründung, vergleiche aber auch die Ausführungen zur Farbwahl.

Die Mittelung lässt sich wie folgt plausibilisieren. Wegen der Definition von `n_R(c)` und `z_n ~~ z_(n-1)^2` für `c->oo` gilt ungefähr `R^2 overset ~> |z_(n_R(c))(c)| >= R > |z_(n_R(c)-1)(c)| overset ~(>=) sqrt(R)`. Das "ungefähr" spiegelt sich in den Zeichen "`overset ~>`" und "`overset ~(>=)`" wider; vergleiche auch hier die Aussagen zu benachbarten Folgengliedern jenseits des Fluchtradius. Quadrieren ergibt die hier wesentliche Abschätzung `R^4 overset~> |z_(n_R(c))(c)|^2 >= R^2`.

Anwendung des natürlichen Logarithmus und dann des binären Logarithmus liefert:

Die linke Seite ergibt sich aus der vorhergehenden Abschätzung, auf der rechten Seite wird die Definition von `nu_R(c)` verwendet. Eine Mittelung der letzten, rechten Abschätzung bedeutet unter der Annahme einer Gleichverteilung eben `nu_R(c) ~~ n_R(c)`.

Potenzial und Fluchtzeit

Es gilt die folgende Beziehung zwischen Potenzial, Fluchtzeit und Fluchtradius, welche auch als Ansatz zur Herleitung verwendet werden kann:

Daraus lässt sich nämlich `nu_R(c)` aus `n_R(c)` berechnen, was natürlich von `R` abhängt.

Mittelfluchtzeit

Es sei `B sube CC` ein achsparalleles Rechteck mit den Seitenlängen `d_x` und `d_y`. Auf dem Rechteck ist das mittlere Potenzial `bar phi`, genähert durch die Potenzialwerte `phi_"lo"`, `phi_"ro"`, `phi_"lu"`, `phi_"ru"` in den Eckpunkten links oben, rechts oben, links unten, rechts unten:

Wegen `phi ~~ (ln R) / 2^(nu-1-1/2)` ergibt sich mit Fluchtzeiten `nu_"lo"`, `nu_"ro"`, `nu_"lu"`, `nu_"ru"` in den oben erwähnten Ecken für eine Mittelfluchtzeit `bar nu`:

Zur Berechnung von `tilde nu` mit Fließkommazahlen muss berücksichtigt werden, dass die Fluchtzeiten groß werden können, die Summanden im Logarithmus unter Umständen nicht mehr dargestellt werden können. Daher verwende folgende Darstellung, in der `nu_"min" := min{nu_"lo", nu_"ro", nu_"lu", nu_"ru"}` benutzt wird:

Fluchtzeitfunktion

Für die hier verwendeten Ideen und Methoden vergleiche auch Is the Mandelbrot set computable? (Hertling).

Definition

Die Funktion `E:CC -> RR` mit `E(c) := -log_2 phi(c)` heiße Fluchtzeitfunktion. Umgekehrt lässt sich aus der Fluchtzeitfunktion das Potenzial ermitteln durch `phi(c) = 2^(-E(c))`.

Beziehung zwischen diskreter Fluchtzeit und Potenzial

Zunächst gilt unter der Anwendung einer Teleskopsumme und von der Rekursionsbeziehung `z_(n_R(c)+mu+1)(c) = z_(n_R(c)+mu)(c)^2+c`

Mit dem Grenzübergang `n->oo` folgt dann wegen `lim_(n->oo)(ln|z_(n+1)(c)|)/(2^n) = phi(c)`

Benachbarte Folgenglieder jenseits des Fluchtradius

Im Folgenden ist `mu in NN`, die Null also eingeschlossen.

Einfacher Einschluss

Eine Anwendung der Dreiecksungleichung ergibt für `mu in NN`

Im Folgenden wird die Abkürzung `alpha := |c|//R^2` verwendet.

Schranken für das erste Folgenglied sind

Jetzt lässt sich das nächste Folgenglied (nach dem ersten) außerhalb des Fluchtradius einschließen:

Erweiterung für Potenzialbezug

Für `|zeta| < 1//3` gilt `ln(1-|zeta|) <= ln|1+zeta| <= ln(1+|zeta|)`. Unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung, nämlich `(ln (1 pm |zeta|) - ln 1) // (pm |zeta|) = 1//rho`, `1-|zeta| <= rho <= 1+|zeta|`, folgt schließlich `|ln (1 pm |zeta|)| = |zeta| // rho < 3//2*|zeta|`.

Im interessanten Gebiet `|c| <= 3` und bei dem hinreichend großen Fluchtradius `R >= 3` folgt aus den Hilfsabschätzungen und `|z_(n_R(c)+mu)(c)| >= R`

Nähe zwischen diskreter Fluchtzeit und Potenzial

Das Zwischenergebnis für die Beziehung zwischen dem Potenzial und der diskreten Fluchtzeit ist

Eine Anwendung von `-log_2`auf `phi(c)2^(n_R(c)-1)` und `ln|z_(n_R(c))(c)||` ergibt unter Berücksichtigung der Definition der Fluchtzeitfunktion `E = -log_2 phi` und den Hilfsfunktionen `u_R(c):=phi(c)2^(n_R(c)-1)` und `v_R(c):=ln|z_(n_R(c))(c)|`

Wegen `|v_R(c)-u_R(c)| <= 9//(2R^2)`, `v_R(c)>0`, `u_R(c)>0` und `log_2v_R(c) - log_2u_R(c)` `=` `(v_R(c)-u_R(c))log_2^'w_R(c)` `=` `(v_R(c)-u_R(c))//(w_R(c))//ln2`, `w_R(c)` zwischen `v_R(c)` und `u_R(c)`, folgt

Das bedeutet im Endergebnis

Diskussion der Fluchtzeiten

Aufgrund von `phi(c)=lim_(n->oo)|z_(n+1)(c)|//2^n` gilt die Beziehung

In Näherung und mit den Definitionen von `n_R(c)` und `nu_R(c)` ist

Die Fluchtzeitfunktion entspricht in etwa der diskreten Fluchtzeit, allerdings korrigiert um einen Summanden, abhängig vom Fluchtradius, aber gleichmäßig beschränkt in der Differenz hinsichtlich des Parameters `c`. Anders gesagt, Fluchtzeitfunktion und diskrete Fluchtzeit weichen nie allzu weit voneinander ab, und mittels des Korrekturterms ist eine Approximation möglich.

Die kontinuierliche Fluchtzeitfunktion `nu_R in RR` ergibt sich per Definition aus der diskreten Fluchtzeit `n_R in NN`. Weil beide nahe beieinander liegen sollen, ist die Forderung `|nu_R-n_R| <= 1//2` sinnvoll und nicht zu verbessern. Das wird mit dem Korrekturterm `log_2lnR` erreicht.

Fluchtbänder

Definition

In klassischen Darstellungen vom Apfelmännchen sind häufig Farbbänder im Äußeren zu sehen, welche zeigen, ab welchem Index `n_R(c)` die Folgen `(z_n(c))_(n in NN)` einen festen Fluchtradius verlassen. Diese Bänder sollen hier Fluchtbänder `B_n` genannt werden. Deren formale Definition lautet

Breite

Die Parameter `c_0` und `c_1` mit `n_R(c_1) - n_R(c_0) = 1` sollen auf den Rändern des Bandes `B_n` liegen, `c_1` also näher an `ccM` als `c_0`. Das Liegen auf dem Rand bedeutet `|z_(n_R(c_0))(c_0)| = |z_(n_R(c_1))(c_1)| = R`. Für die Fluchtzeitdifferenz folgt dann

Für `c_1` gelte nun die zusätzliche Eigenschaft, die Entfernung zu `c_0` zu minimieren. Dann heiße hier `b := |c_1-c_0|` die Fluchtbandbreite bei `c_0`. Außerdem kann der Abstand `b` von dem Punkt `c_0` zur Konturlinie approximiert werden, auf der `c_1` liegt. Die Definition der Fluchtzeitfunktion `E` ergibt die Ableitung `dotE = -dotphi//((ln2)phi)`, ausgedrückt durch das Potenzial `phi`. All dies zusammengesetzt liefert eine Schätzung für die Fluchtbandbreite:

Hierbei ist `bars` die Schätzung der Distanz zum Rand der Mandelbrotmenge.

Diese Schätzung lässt ich effizient berechnen mittels `z_n` und `dotz_n`, wie bei der Definition des Potenzials nachgelesen werden kann.

Ein Blick auf berechnete Darstellungen führt zur folgenden Vermutung für eine untere Schranke:

Entfernung zum nächsten Fluchtbandrand

In dem Fluchtband liege der Parameter `c`, zu dem ein Punkt `c_("o","u")` auf einer Konturlinie gesucht wird, so dass `B(c) := min{|c_"o"-c|,|c_"u"-c|}` den Abstand zum Bandrand angibt. Hier gilt wieder, dass `c_"u"` (unten) näher an `ccM` liegt als `c_"o"` (oben).

Mit `D(c) := log_2ln|z_(n_R(c))(c)| - log_2(lnR) - 1//2 `, `n_R(c) - n_R(c_"o") = 1` und `n_R(c_"u") - n_R(c) = 0` schreibe dafür kürzer `E(c) - E(c_"o") ~~ 1//2 - D(c)` und `E(c_"u") - E(c) ~~ 1//2 + D(c)`.

Wieder legt ein Blick auf die berechneten Darstellungen eine Vermutung nahe:

Hierbei ist `bars(c)` die Schätzung der Distanz zum Rand der Mandelbrotmenge.

Darstellungsfunktionen

Farbwahl

Fluchtzeiten sind positive reelle Zahlen `nu`. Jeder Zahl `nu` wird ein Farbwert ("Hue") `tt(hue)(nu)` zugeordnet.

Die additiven Konstanten in der Definition der kontinuierlichen Fluchtzeit sorgen für eine farbliche Konsistenz mit den Farben bei Verwendung der diskreten Fluchtzeit, unter der Annahme, dass dieselbe Funktion `tt(hue)` in beiden Fällen verwendet wird. Der Summand 1/2 lässt diskrete Farbbänder mit kontinuierlichen Farbsäumen besser übereinstimmen, die diskreten Farbgrenze liegt nicht mitten im Farbsaum.

Atomdomänen

Definition

Für eine Periode `p in NN^**` definiere eine Atomdomäne `ccD_p := {c in CC : AA 1 <= n < p : |z_p(c)| < |z_n(c)|}`. Für jeden Parameter `c` aus der Domäne wird dann in der Zahlenfolge `|z_1(c)|`, ..., `|z_p(c)|` erstmalig `|z_p(c)|` alle bisherigen Betragswerte unterbieten. Nach Definition ist `ccD_1=CC`. Atomdomänen können sich überlappen.

Eigenschaften

Atomperioden sind gute Kandidaten für Zyklenperioden.

Hyperpolische Komponenten

Periodische Punkte und Zyklus

Ein Punkt `z in CC_oo` heißt periodisch zur Periode `p in NN^**` für den Parameter `c in CC_oo`, falls `z = F^(@p)(z,c)` ist mit kleinst möglichem `p`). Das ist zugleich auch eine Fixpunktgleichung, aus der `z` bestimmt werden kann.

Das Tupel `(z, F(z,c), ..., F^(@p-1)(z,c))` ist der dazugehörige Zyklus. Mit `tilde z_k(z,c) := F^(@k)(z,c)`, `k in NN`, insbesondere `tilde z_0(z,c)=z`, lesen sich die Periodizitätsbedingung wie `tilde z_0 = tilde z_p` und der Zyklus wie `(tilde z_0, ...,tilde z_{p-1})`.

Multiplikatoren und Attraktivität

Der Wert `tilde lambda(z,c) := partial_z F^{@p}(z,c)` heißt Multiplikator des Zyklus. Die Definition ist unabhängig vom gewählten Punkt `z` des Zyklus, denn für alle Punkte im Zyklus folgt unter Anwendung der Kettenregel

Ein Zyklus heißt anziehend oder auch attraktiv, falls `|tilde lambda| < 1` ist. Für `tilde lambda = 0` heißt er überanziehend oder auch superattraktiv. Ein überanziehender Zyklus muss den kritischen, d.h. `partial_z F(z,c)=0`, Punkt `z=0` enthalten.

Eindeutigkeit von anziehenden Zyklen

Der Satz von Fatou besagt, dass jeder anziehende Zyklus eines Polynoms mindestens einen kritischen Punkt anzieht. Daraus folgt, dass der anziehende Zyklus eindeutig ist – sofern er existiert.

Insbesondere zieht ein anziehender Zyklus des Polynoms `F^(@p)(*,c)` den kritischen Punkt `z=0` an. Außerdem kann dem entsprechenden `c` wohldefiniert ein Multiplikator `lambda(c)` zugeordnet werden.

Komponenten

Betrachte `ccH := {c in CC : EE" anziehender Zyklus " zeta: (z_n(c))_{n in NN} -> zeta}`. Weil die Zyklen anziehend sind, gibt es zu jedem Parameterwert `c` auch nur genau einen. Die Menge `ccH` ist eine offene Teilmenge vom Inneren von `ccM`, also `ccH^@ = ccH sube ccM^@`. Eine bislang unbewiesene Vermutung sagt sogar `ccH = ccM^@`.

Die Zusammenhangskomponenten von `ccH` heißen hyperbolische Komponenten.

Multiplikatorabbildung

Die Abbildung `lambda : H -> ccB_1^@`, `c |-> lambda(c)`, von einer Komponente `H sube ccH` in die offene Einheitskreisscheibe `ccB_1^\@` ist biholomorph. Diese Multiplikatorabbildung kann zu einem Homöomorphismus `lambda : bar H -> bar (ccB_1)` fortgesetzt werden.

Das Maximumprinzip führt zu zwei Erkenntnissen:

• Der Betrag des Multiplikators ist auf dem Rand einer hyperbolischen Komponente eins: `|lambda_(|del H)| = 1`.
• Hyperbolische Komponenten sind einfach zusammenhängend.

Nukleus (Zentrum) und Wurzel

Es sei eine hyperbolische Komponente `H sube ccH` der Periode `p` gewählt.

Das Zentrum von `H` ist der Parameterwert `c_0` mit `lambda(c_0)=0`, wozu ein überanziehender Zyklus gehört. Die Wurzel von `H` ist der Parameterwert `c_1`mit `lambda(c_1)=1`.

Der Zyklus zum Zentrum `c` entspricht der Folge `(z_n(c))_(n in NN)`, weil der Zyklus den Wert 0 enthält. Jeder Zyklus aus `H` hat dieselbe Periode wie dieser kritische Orbit. Zentren `c` der Periode `p` errechnen sich aus der Gleichung `F^(@p)(0,c)=0`.

Jeder Randpunkt aus `del ccM` ist ein Häufungspunkt von Zentren. Es ist `del H sub del ccM`, weil etwa Misiurewicz-Punkte (strikt präperiodische Punkte, nämlich erst ab einem gewissen Folgenglied periodisch) nicht auf dem Rand `del ccH` liegen.

Wukleus

Gegeben sei eine hyperbolische Komponente `H sube ccH` der Periode `p`. Eine Lösung `w` der Gleichung `F^(@p)(w,c)=w` zum Parameter `c` wird als Wukleus bezeichnet.

Nukleus-Berechnung

Wukleus-Berechnung

Schätzungen

Distanzschätzung

Zusammenhang mit Potenzial

Distanz bedeutet hier die äußere Entfernung `d` eines Parameters `c in ccA` zur Mandelbrotmenge `ccM`. Hierzu gibt es eine Schätzung `bars` für die wahre Distanz `d` mit den Schranken `bars//4 <= d <= bars`:

Zusammenhang mit Fluchtzeitfunktion

Aus `E = -log_2phi` folgt `dotE = -dotphi//((ln2)phi)`, weshalb sich die Schätzung `bars` darstellt als

Randschätzung durch Zentrumsdetektion

Eine genäherte notwendige Bedingung

Grundlage für die Schätzung ist, dass der Rand `delccM` im Abschluss der Menge aller Zentren liegt. Liegt innerhalb eines Pixels ein Zentrum, kann das Pixel passend gefärbt werden.

Betrachte das Zentrum `c_0` einer Komponente `ccH` mit der Periode `p`, also `z_p(c_0) = z_0(c_0)= 0`. Nimm an, dass in der Nähe ein Parameter `c` untersucht wird. Die Größe `d_(**)` sei die Kantenlänge eines Pixels; `r_(**) = d // sqrt2` ist dann der Radius eines umschreibenden Kreises. Die Frage ist nun, ob sich innerhalb des Radius `d_(**)` von `c` das Zentrum `c_0` befindet. Dann kann das Pixel als Zentrum gewertet werden.

Quadrieren ergibt eine Abschätzung, die als näherungsweise notwendige Bedingung aufgefasst werden kann bei der Zusatzforderung `|c-c_0| <= r_(**)`:

Eine heuristische maximale Verschärfung

Quadrieren und Einhalten der gewünschten Eigenschaft `|c-c_0| <= r_(**)` ergibt Die heuristisch verschärfte notwendige Bedingung:

Abstandschätzung

Abstand bedeutet hier die innere Entfernung `a` des Parameters `c in ccH` zum Rand `delccM` der Mandelbrotmenge `ccM`. Die Schätzung `uls` mit `uls//4 <= a <= uls` lautet:

Um obigen Ausdruck kürzer zu halten, ist abkürzend `w=w(c)` geschrieben.

Größe und Form von Komponenten

Zu einer Komponente `ccH` mit der Periode `p` sei das Zentrum `c=c_0` bekannt. Dann ist der kritische Punkt `z=0` in dessen Zyklus enthalten, also `w(c_0)=0`. Überdies ist er überanziehend, sprich `del_zF^(@p)(0,c_0)=0`.

Aus `F^(@p)(*,* *) = F^(@p-1)(F(*,* *),* *)` folgt unter Anwendung der Kettenregel `del_zF^(@p) = 2z*del_zF^(@p-1)` sowie `del_cdel_zF^(@p) = 2z*del_cdel_zF^(@p-1)`, also `del_cdel_zF^(@p)(0,c_0)=0`. Damit hat das Zentrum `c_0` genähert folgenden Abstand vom Rand `delccM`:

Mit Hilfe einer Konturdiskriminante `Delta`, gegeben wie folgt, lässt sich die Form der Komponente bestimmen:

Bei `|Delta(c_0)| < < 1` hat die Komponente das Aussehen einer Kardioide, bei `|Delta(c_0)-1| < < 1` das eines Kreises.

Rekursionen

Hier sind Rekursionsformeln rund um das Polynom `F(z,c)=z^2+c` wiedergegeben. Sofern nicht anders gesagt, ist `n in NN`.

Außerdem ist hier ist eine Zusammenstellung der wichtigsten Rekursionsbeziehungen für die Dynamikfolge `(z_n(c))_n`. Darunter sind Folgen von Ableitungen wie etwa nach dem Parameter, nämlich `dotz_n` mit `dot@ := "d"//("d"c)`.

Folge `(z_n)`

Zahlfolge

Polynomfolge

• `F^(@n+1)(z,c) := F^(@n)(F(z,c),c) = F(F^(@n)(z,c),c);\ F^(@ 0)(z,c) := z`
• `z_n(c) = F^(@n)(0,c)`
• `z_(n+1)(c) = F^(@n+1)(0,c) = F^(@n)(F(0,c),c) = F^(@n)(c,c)`

Für weitere Herleitungen ist `F^(@n+1)(z,c) = F(F^(@n)(z,c),c)` von zentraler Bedeutung.

Folge `(z_n^')`

• `del_zF^(@n+1)(z,c) = 2F^(@n)(z,c)del_zF^(@n)(z,c)` aus `del_zF^(@(n+1)) = del_zF*del_zF^(@n) + del_cF*0`
• `del_zF^(@0)(z,c) = 1`

In Kurzschreibweise mit `z_n^' = del_zF^(@n)` ist das:

Folge `(dotz_n)`

Mit `dot@` hier immer die Ableitung `"d"//{:"d"c:}` nach dem Parameter `c` gemeint.

Zahlfolge

Polynomfolge

• `del_cF^(@n+1)(z,c) = 2F^(@n)(z,c)del_cF^(@n)(z,c) + 1` aus `del_cF^(@n+1) = del_zF*del_cF^(@n) + del_cF*1`
• `del_cF^(@0)(z,c)=0`
• `dotz_n(c) = del_cF^(@n)(0,c)` wegen `("d")/("d"c) F^(@n)(0,c) = del_cF^(@n)(0,c)`

Höhere Ableitungen

• `del_cdel_zF^(@n+1) = 2F^(@n)*del_cdel_zF^(@n)+2del_cF^(@n)*del_zF^(@n);\ del_cdel_zF^(@p) = 0`
• `del_z^2F^(@n+1) = 2F^(@n)*del_z^2F^(@n)+2(del_zF^(@n))^2;\ del_z^2F^(@0) = 0`

Distanzberechnung

Hinweise zur Berechnung

Weil die Berechnung von komplexen Betragsquadraten Rechenkosten spart durch Verzicht auf Wurzelziehen, ist es besser mit der quadrierten Schätzung `bars^2` zu rechnen:

Abstandberechnung